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Discussion: [Enigme] Test 164

  1. #1
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    [Enigme] Test 164

    Bonjour,

    Comme on est en période de vacances scolaires, j'enfreins la règle de l'énigme 163 en postant cette nouvelle énigme qui parle de trains qui se croisent et qui se doublent :
    Ca se passe en Inde sur la ligne ferroviaire Mumbai - New Delhi.
    La durée totale du croisement du Mumbai - New Delhi avec le train A roulant en sens inverse a été de 10 secondes.
    Quelques minutes plus tard, le Mumbai - New Delhi rencontre le train B. La durée totale de ce 2nd croisement est de 8 secondes.
    Plus tard, le train B rattrape le train A; ils sont alors sur 2 voies parallèles.
    Les 3 convois (le Mumbai - New Delhi, le train A et le train B) sont tous de même longueur et chacun roule à vitesse constante durant toute cette période.
    Quelle est la durée totale du dépassement du train A par le train B ?

    Pour éviter les questions et pour qu'on soit sûrs d'utiliser les mêmes termes pour les mêmes significations, je précise que :
    - la durée totale d'un croisement est celle qui s'écoule entre l'instant où les 2 têtes de train sont au même niveau et celui où les arrières le sont également.
    - la durée totale d'un dépassement est celle qui s'écoule entre l'instant où l'avant du train le plus rapide coïncide avec l'arrière de l'autre train et celui où l'arrière du train le plus rapide arrive au niveau de l'avant de l'autre train.

    Bye.
    On reconnait les fous au fait qu'ils hurlent quand on les enferme.

  2. #2
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    Ah j'attendais cela avec impatience !

    Problème indépendant de la vitesse du premier train ou de leur longueur.

    Si on se base en vitesse relative :

    v = d/t, t = d/v

    les longueurs des trains sont identiques, t(a)=d/v(a) et t(b)= d/v(b)
    On a donc d = t(a).v(a) = t(b).v(b)
    D'ou 10.v(a) = 8.v(b)
    Donc v(b)/v(a) = 5/4 = 1,25

    Mais j'ai l'impression que je vais avoir faux si je raisonne en vitesse relative ( référentiel train A et B ) car en déduire que le train B va 25% plus vite que le train A est une erreur, je m'explique :

    Soit v1 la vitesse du premier train ( mumbai new dehli )
    Et "vra" pour "vitesse réelle a" par exemple

    l'équation en repère terrestre devient : vrb - v1 = (vra-v1).1,25 = 1,25vra - 1,25v1

    d'ou vrb = 1,25vra -0,25v1 les vitesses relatives et absolues ne sont donc assimilables que si le premier train reste fixe, ce qui est faux ( comme quoi j'ai eu l'impression que ca se serait annulé dans les calculs au final ... mais pas pour l'instant ). ==> cependant on a aucune info sur v1, donc je suppose qu'on ne doit pas s'en servir malgré tout. Je tente donc la suite avec la version "relative".

    Quand le train B arrive au niveau du train A
    A roule à une vitesse va et b a une vitesse vb

    v=d/t ==> (vb-va) = d/t ==> T = d/(vb-va)
    d'après les équations précédentes on sait que d = ta.va ==> T = ta.va / ( vb-va )
    en divisant numérateur et dénominateur par va et remplacant ta par sa valeur on obtient T = 10 / ( 1,25-1) = 10/0.25 = 40s

    Le dépassement durerait donc 40 secondes.

    Néanmoins c'est un peu brouillon et je me suis peut être trompé.

    vérification avec valeurs :

    Supposons va ( relatif ) = 100m/s et vb = 125m/s
    d = 100*10 = 1km, et d=125*8=1km.

    Maintenant si A et B se croisent la vitesse relative n'est plus qu'a 25m/s, si d=1km alors t = 1000/25 =40s...

  3. #3
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    Salut dekron,

    Que vaut d dans tes équations ? Il semblerait que tu utilises d comme étant la longueur d'un train. Dans ce cas, comment expliques-tu tes équations ?

    Bye.
    On reconnait les fous au fait qu'ils hurlent quand on les enferme.

  4. #4
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    Spoiler

    Le M-N, le train A et le train B vont chacun à une vitesse constante et sont de même longueur.
    Soit d la longueur du train, v1 la vitesse du train A, v2 la vitesse du train B, vMN la vitesse du train M-N, t' le temps de croisement t le temps de dépassement.

    On a la vitesse de croisement d'un train par un autre (c'est à-dire la vitesse somme des vitesses des trains se croisant) par : v=d/t'
    C'est-à-dire qu'à cette vitesse v, on met un temps t' pour parcourir la distance d, à savoir la longueur d'un train.

    On a :
    v1 = d/10 - vMN
    et
    v2=d/8 - vMN

    Or pour que le train B dépasse le train A, on doit avoir avec d la longueur commune aux trains et t le temps du dépassement :

    t*v2=t*v1+d

    La distance parcourue par le train B en un instant doit être égale à celle parcourue par le train B + la longueur totale du train.

    Soit, en remplaçant v1 et v2 par leurs valeurs respectives :

    t*(d/8-vMN)=t*(d/10-vMN)+d
    td/8-tvMN=td/10-tvMN+d
    td/8=td/10+d
    t/8=t/10+1
    t=4/5t+8
    t=40


    On a donc t=40 secondes.
    Dernière modification par lsjduejd ; 24/10/2011 à 21:39:48.

  5. #5
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    Je possède : Archos 604
    Stop lsjduejd.
    Ta toute première équation est fausse.
    Désolé.
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  6. #6
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    Oups, pardon, j'ai confondu vitesse de croisement avec vitesse du train, j'arrange ça.

  7. #7
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    J'pardonne plus, je déchiquette ! ...
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  8. #8
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    En effet

    v = vitesse ( du train )
    t = temps de croisement / dépassement
    et donc d = distance parcourue.

    dans le cas d'un repère relatif, la distance parcourue équivaut à la longueur d'un train de référence ( qui est immobile dans ce repère ) et donc cela reste valable. Mais ceci explique mon petit questionnement quant à l'incompatibilité des formules ans le cas des vitesses réelles, car la d n'est plus égal à la longueur d'un train.

    Mais pour les équations relatives pas de changement, je conserve mon résultat pour le moment.

    Ais-je pu détailler assez précisément ?

    Edit : un second joueur trouve le meme résultat ? on semble se rapprocher de la solution :) ( meme si j'ai pas "nettoyé" mon brouillon ... héhé )
    Dernière modification par dekron ; 24/10/2011 à 21:35:55.

  9. #9
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    Le pb est que tu utilises le même d pour un croisement et un dépassement.
    On reconnait les fous au fait qu'ils hurlent quand on les enferme.

  10. #10
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    Citation Envoyé par frolicfrog Voir le message
    Stop lsjduejd.
    Ta toute première équation est fausse.
    Désolé.
    C'est bon maintenant ?

  11. #11
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    Citation Envoyé par dekron Voir le message
    Edit : un second joueur trouve le meme résultat ? on semble se rapprocher de la solution :)
    Evidemment qu'on a bon !

    J'ai quand même posé la question, on sait jamais :)
    Dernière modification par lsjduejd ; 24/10/2011 à 21:44:37.

  12. #12
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    Etant donné que d en relatif est égal à la longueur d'un train, cette longueur reste bien constante ... ;)

  13. #13
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    Bon, on va dire que c'est bon mais franchement vous êtes compliqués à suivre tous les 2... Bravo quand même !
    Voici une solution plus simple à comprendre pour le commun des mortels :
    Spoiler
    Soit L la longueur de chacun des 3 trains.
    Soit v1 la vitesse du Mumbai - New Delhi.
    Soit v2 la vitesse du train A.
    Soit v3 la vitesse du train B.
    Lorsque la tête du Mumbai - New Delhi est au niveau de celle du train A, la distance séparant les 2 arrières est 2L. Les 2 trains vont l'un vers l'autre, leurs vitesses de rapprochement s'ajoutent. La durée du croisement est donc 2L/(v1+v2)=10. Donc v1+v2=2L/10 (équation 1)
    En suivant le même raisonnement pour le train B, on obtient v1+v3=2L/8 (équation 2).
    Lorsque la tête du train B est à la hauteur de l'arrière du train A, l'arrière du train B se trouve à une distance de 2L de l'avant du train A. Les 2 trains roulent dans le même sens, leurs vitesses se retranchent et la durée totale de dépassement est égale à t=2L/(v3-v2) (équation 3).
    Si on retranche l'équation 1 de l'équation 2, on obtient v3-v2=2L(1/8-1/10)=2Lx0,025.
    En remplaçant v3-v2 dans l'équation 3, on trouve t=2L/(2Lx0,025)=1/0,025=40 secondes
    Le train B met donc 40 secondes pour dépasser le train A.
    That's it! ...
    Bye.
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