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Discussion: [Enigme] Test 9

  1. #1
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    [Enigme] Test 9

    Bonsoir,

    Pour remplacer le test 5 qui n'était pas simple, voici un nouveau test, pas évident non plus. Donc réponse dans une semaine si personne n'a trouvé avant.

    Trouvez deux nombres de cinq chiffres, s'écrivant au moyen des dix chiffres de 0 à 9, chacun d'eux utilisé une fois et une seule, et tels que la somme et la différence de ces deux nombres soient aussi deux nombres de cinq chiffres, s'écrivant au moyen des 10 chiffres de 0 à 9, chacun d'eux utilisé une fois et une seule.

    Par pitié, pas de "brute force" cette fois. Il suffit de réfléchir aux conditions nécessaires relatives aux nombres recherchés. Enfin, quand je dis "il suffit", vous me comprenez...

    Bye.

    PS : les moteurs de recherche sont les ennemis des énigmes...
    On reconnait les fous au fait qu'ils hurlent quand on les enferme.

  2. #2
    Archosien expert Avatar de bizuthducha
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    Cool

    J'ai trouvé mais ça ne tient que si les deux nombres recherchés sont les plus grands!
    Ca se démontre dans ce cas, sinon j'ai 60480 possibilités si les deux nombres recherchés ne sont pas les plus petits ou les plus grands possibles...
    Dernière modification par bizuthducha ; 03/10/2010 à 21:52:16.
    "La réponse est oui. Quelle est la question?" W.Allen

  3. #3
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    Citation Envoyé par florian Voir le message
    J'ai trouvé mais ça ne tient que si les deux nombres recherchés sont les plus grands!
    Ca se démontre dans ce cas, sinon j'ai 60480 possibilités si les deux nombres recherchés ne sont pas les plus petits ou les plus grands possibles...
    Gneu !?! Moi pas comprendre toi...
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  4. #4
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    Bonsoir,

    Ce test est ardu.
    Voici un premier indice :

    Désignons par A et B les 2 nombres cherchés, par S leur somme et par D leur différence.
    A = abcde = ?
    B = fghij = ?
    S = A + B = ?
    D = A - B = ?

    Apuka...

    Bye.
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  5. #5
    Archosien expert Avatar de bizuthducha
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    J'ai fait ça, c'est tranquille! Mais faut préciser que A et B sont les plus grands possibles Parce que sinon tu peux trouver plein de solutions...
    "La réponse est oui. Quelle est la question?" W.Allen

  6. #6
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    Je n'ai jamais dit qu'il n'y avait qu'une solution.
    Je demande simplement de trouver un exemple avec 2 nombres et surtout d'expliquer comment ils ont été trouvés. Dit autrement : pas de brute force ! ...
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  7. #7
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    Ah!
    Bon ba c'est bon! Trouvé (et c'est pas de la brute force mais de la mise en équation =P )
    Dernière modification par bizuthducha ; 05/10/2010 à 20:26:38.
    "La réponse est oui. Quelle est la question?" W.Allen

  8. #8
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    B'jour,

    Mouais, soit je dois louper quelque chose, soit je n'ai pas les compétences pour résoudre le problème. Une chose est sure, même si j'ai pu trouver quelques solutions, je n'arrive pas à trouver un algorithme correct pour faire du brute force, et encore moins de mettre en équation le problème. Et ce n'est pas ton indice qui m'aide, c'est la première chose à laquelle j'ai pensé, donc j'en suis au même point.

    Bon, bah j'ai plus qu'à trouver une corde réfléchir encore...

  9. #9
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    Bonjour,

    Indice n° 2 :

    A = abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
    B = fghij = 10000f + 1000g +100h + 10i +j
    S = A + B = ?
    D = A - B = ?
    Que sait-on de a, b, c, ..., j ?

    Bonne journée.
    On reconnait les fous au fait qu'ils hurlent quand on les enferme.

  10. #10
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    Bonsoir,

    Indice n° 3 :

    S = A + B = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e + 10000f + 1000g +100h + 10i +j
    S = 10000(a+f) + 1000(b+g) + 100(c+h) + 10(d+i) + e + j
    S = 9999(a+f) + 999(b+g) + 99(c+h) + 9(d+i) + a + b + c + d + e + f + g + h + i + j

    Keep going...
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  11. #11
    Archosien illustre Avatar de frolicfrog
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    Bonsoir,

    La solution :

    Désignons par A et B les 2 nombres cherchés, par S leur somme et par D leur différence.

    A = abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
    B = fghij = 10000f + 1000g +100h + 10i +j
    S = A + B = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e + 10000f + 1000g +100h + 10i +j
    S = 10000(a+f) + 1000(b+g) + 100(c+h) + 10(d+i) + e + j
    S = 9999(a+f) + 999(b+g) + 99(c+h) + 9(d+i) + a + b + c + d + e + f + g + h + i + j
    Les 10 chiffres étant utilisés chacun une fois et une seule, on a : a+b+c+d+e+f+g+h+i+j = 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 = 9x5
    Donc A + B est multiple de 9.
    Par analogie avec A + B, S et D utilisent aussi les 10 chiffres de 0 à 9, chacun d'eux utilisé une seule fois.
    On a donc aussi S + D multiple de 9.
    Donc (A + B) + (A - B) = 2A multiple de 9.
    Donc A est multiple de 9.
    Comme A + B est multiple de 9, on a aussi B multiple de 9.
    Rappel : un nombre est multiple de 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9.

    Ouf ! On s'arrête et on boit une bière...

    La somme maximum des chiffres de A ou de B est 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35 et leur somme minimum est 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
    Puisque A et B sont multiples de 9, la somme de leurs chiffres est un multiple de 9.
    Elle vaut donc 27 ou 18.
    On conclut donc que l'un des 2 nombres a pour somme de ses chiffres 27 et l'autre 45 - 27 = 18.

    Ouf ! On s'arrête et on boit une 2e bière ou on va évacuer la 1ère...

    A partir de là, le problème se simplifie énormément. Pas besoin de brute force !

    On prend au hasard 5 chiffres différents ayant pour somme 27. Exemple : 18639 et on cherche à agencer les 5 autres chiffres (0, 2, 4, 5 et 7) de manière à ce que le nouveau nombre obtenu associé à 18639 vérifie les conditions posées.
    On obtient une solution pour 45720.
    Vérification : 45720 + 18639 = 64359 et 45720 - 18639 = 27081

    Here it is!

    C'était, de loin, le test le plus difficile.

    Bonne soirée.

    PS : désolé pour les 3 posts consécutifs mais je ne voulais pas modifier un vieux post. Ce n'est pas du flood...
    Dernière modification par frolicfrog ; 12/10/2010 à 22:22:52.
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